असमिका (tan^{-1} x)(cot^{-1} x) - (tan^{-1} x | vedclass

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Question

(C) माना $u = 	an^{-1} x$. तब $\cot^{-1} x = \frac{\pi}{2} - u$.दी गई असमिका: $u(\frac{\pi}{2} - u) - u(1 + \frac{\pi}{2}) - 2(\frac{\pi}{2} - u) + 2

Vedclass · Accepted Answer

$(-	an 1, 	an 2)$

Vedclass · Answer

(C) माना $u = an^{-1} x$. तब $\cot^{-1} x = \frac{\pi}{2} - u$.दी गई असमिका: $u(\frac{\pi}{2} - u) - u(1 + \frac{\pi}{2}) - 2(\frac{\pi}{2} - u) + 2(1 + \frac{\pi}{2}) > \lim_{x o \infty} [\sec^{-1} x - \frac{\pi}{2}]$.जैसे $x o \infty$,$\sec^{-1} x o \frac{\pi}{2}$,इसलिए सीमा $[\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}] = [0] = 0$ है।बाएँ पक्ष को सरल करने पर: $\frac{\pi}{2}u - u^2 - u - \frac{\pi}{2}u - \pi + 2u + 2 + \pi > 0$.$-u^2 + u + 2 > 0 \Rightarrow u^2 - u - 2 $(u - 2)(u + 1) चूँकि $u = an^{-1} x$,हमारे पास $-1 सभी पक्षों पर टेंजेंट लेने पर: $ an(-1) अतः,$- an 1 < x < an 2$.

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$\cot^{-1}(1) + \cot^{-1} (\frac{1}{2}) + \cot^{-1}(\frac{1}{3}) =$

$50 \tan \left(3 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+2 \cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\right)+4 \sqrt{2} \tan \left(\frac{1}{2} \tan ^{-1}(2 \sqrt{2})\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $x, y, z$ समांतर श्रेणी में हैं और $\tan^{-1} x, \tan^{-1} y, \tan^{-1} z$ भी समांतर श्रेणी में हैं,जहाँ $x, z > 0$ और $xz < 1, y < 1$,तो

यदि $u = \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1 + x^2} - 1}{x} \right)$ और $v = 2 \tan^{-1} x$ है,तो $\frac{du}{dv}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि समीकरण $\sin^{-1}(x - 1) + \cos^{-1}(x - 3) + \tan^{-1}\left(\frac{x}{-x^2 + 2}\right) = m$ सत्य है,तो $m$ का मान ज्ञात कीजिए।

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